\documentclass[dvips]{article}

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\title{Quantenoptik Praktikum zweiter Teil: \linebreak Verletzung der Bell Ungleichung}
\author{Christoph Georg Harald}

\begin{document}
\maketitle

\section{Allgemeine Theorie:}
\subsection{Verschr"ankung}
In der Quantenmechanik werden Zust"ande als Elemente im Hilbertraum beschrieben. Zusammengesetzte Zust"ande aus mehreren Quanten oder Freiheitsgraden werden hier durch das Tensorprodukt ihrer Teilhilberträume beschrieben und nicht wie in der klassischen Mechanik durch das kartesische Produkt ihrer Phasenr"aume.
Ein Element des Gesamtraumes muss sich somit nicht in Elemente der Teilr"aume faktorisieren lassen! 
Solche Zust"ande nennt man verschr"ankt. 
Ein Beispiel f"ur die Wellenfunktion eines verschr"ankten 2 Teilchen Zustandes sieht man in Glg. \ref{verschr} .
\begin{equation}
\label{verschr}
\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [\vert u_{1} \rangle \vert v_{1} \rangle - 
\vert u_{2} \rangle \vert v_{2} \rangle]
\end{equation}
$ \vert u_{1,2} \rangle  \vert v_{1,2} \rangle $ sind die Grundzust"ande der beiden Teilchen. Gibt es f"ur $ u $ und $ v $ je zwei m"ogliche Zust"ande nennt man diesen verschr"ankten Zustand $ \psi_{-} $ Bell Zustand. In diesem Zustand kann man nicht mehr von den Eigenschaften eines einzelnen Quants sondern nur von den gesamten Eigenschaften der beiden Quanten sprechen. 

In unserem Fall entsprechen die Zust"ande Polarisationen von Photonen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit daf"ur, dass das ein Photon eine bestimmte Polarisation hat, wenn die Polarisation des anderen schon gemessen wurde ist 1.
Im Fall des reinen $ \psi^{-} $ Zustandes sind die Polarisationen perfekt antikorreliert.

\subsection{Einstein Podolsky Rosen Paradoxon}

Im Jahr 1935 formulierten Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen das nach ihnen benannte EPR Paradoxon. Die zentralen Annahmen ihrer Arbeit waren
\begin{itemize}
\item Vollst"andigkeit: Eine physikalische Theorie muss f"ur jedes Element physikalischer Realit"at ein entsprechendes theoretisches Gegenst"uck haben.
\item Realit"at: Werte einer physikalischen Variable k"onnen mit Sicherheit und ohne St"orung des Systems vorhergesagt werden. Diese Variable ist dann ein Element der physikalischen Realit"at.
\item Lokalit"at: Entfernte Messungen an einem Objekt k"onnen Messungen an einem anderen Objekt nicht beeinflussen.
\end{itemize} 
Aus diesen Annahmen und den bekannten Regeln der Quantentheorie leiteten sie einen Widerspruch her. Daraus folgerten sie die Unvollst"andigkeit der Quantentheorie.

Eine M"oglichkeit der Vervollst"andigung der Quantentheorie w"are die Einf"uhrung sogenannter verborgener Parameter, die keinen objektiven Zufall mehr zulassen w"urden.
\subsection{Bell Ungleichung}
J. S. Bell fand eine mathematische Bedingung an s"amtliche lokal realistischen Theorien die den Annahmen von EPR gerecht werden. Diese Bedingung nennt man die Bell Ungleichung (Glg. \ref{bu} ).
\begin{equation}
\label{bu} 
\vert E(\textbf{a}, \textbf{b}) - E(\textbf{a}, \textbf{c}) \vert \leq 1+E( \textbf{b}, \textbf{c})
\end{equation}
$ E $ ist hier der Korrelationskoeffizient von je 2 Messungen mit den Einstellungen ($ a, b, c$).

Die Quantentheoretischen Ergebnisse verletzen diese Ungleichung. Bell schloss daraus, dass eine Vervollst"andigung der Quantentheorie auch nichtlokale Eigenschaften haben muss und sieht somit die Lokalit"atsannahme als zentralen Ursache des Widerspruchs von QT und realistischen Vervollst"andigungen.

Ziel unseres Experimentes ist es die Bell Ungleichung zu verletzen und damit die gleichzeitige Existenz von Lokalit"at und Realit"at f"ur die QT zu widerlegen (bis auf gewisse vorhandene Loopholes).
\section{Das Experiment:}

\subsection{Die Quelle}
Wir erzeugen einen $ \psi^{-}$ Bell Zustand durch Spontane Parametrische Down Conversion. Dabei erzeugt ein Pumplaser, in einem nichtlinearen (doppelbrechenden) Kristall (BBO), eine ordentliche und eine au"serordentliche Welle. Das bedeutet im Teilchenbild, dass ein Photon des Pumplasers mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in 2 Photonen mit gr"o"serer Wellenl"ange (Energieerhaltung) zerf"allt. Die Photonen der au"serordentlichen Welle sind vertikal die der ordentlichen horizontal polarisiert.
Aufgrund der Impulserhaltung werden die beiden Photonen auf 2 Kegelm"anteln an gegen"uberliegenden Seiten emittiert. Wir betrachten die Situation wo die beiden Photonen die selbe Energie besitzen, wodurch die Emissions-Kegel gleichen Durchmesser haben was zur Ununterscheidbarkeit der Photonen beitr"agt.

An den Kreuzungspunkten dieser beiden Kegel tragen die einzelnen Photonen dann bis auf eine leichte Phasenverschiebung keine Information "uber ihren Ursprung und damit ihre Polarisation.
Diese Phasenverschiebung wird dadurch kompensiert, dass die (unbekannte) Polarisation der Photonen durch eine $ \lambda /2 $ Platte jeweils um 90 Grad gedreht und dann durch Kompensatorkristalle der halben Dicke des Konversionskristalls geschickt werden. Dadurch erreicht man, dass sie im Mittel dieselbe Phase haben. Eine Anordnung dieser Art nennt man quantum eraser, weil sie die Information "uber ihren Ursprung maximal l"oscht.

Deshalb kann man die Quelle durch den verschr"ankten Zustand
\begin{equation}
\label{hv} 
\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( \vert V \rangle_{1} \vert H \rangle_{2} + e^{i \phi} \vert H \rangle_{1} \vert V \rangle_{2} )
\end{equation}

beschrieben werden. Die Phase $ \phi $ wurde durch unsere Anordnung auf $ \pi $ festgelegt.

\subsection{Die CHSH Ungleichung}
F"ur unser Experiment verwenden wir eine andere Variante der Bell Ungleichung (CHSH Ungleichung), da sie besser an die experimentellen Gegebenheiten angepasst ist. Sie verlangt z.B. nicht, dass die Detektionseffizienz 100 \% betr"agt und dass die Teilchen zu 100 \% antikorreliert sind.
Sie lautet:
\begin{equation}
\label{chsh} 
S(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{a}',\textbf{b}') :=  \vert E(\textbf{a}, \textbf{b}) - E(\textbf{a}, \textbf{b}') \vert + \vert E( \textbf{a}', \textbf{b}') + E( \textbf{a}',\textbf{b}) \vert \leq 2          
\end{equation}

$E$ ist wieder der Korrelationskoeffizient der definiert ist als:
\begin{equation}
\label{koko} 
E = \frac{n^{++} + n^{--} - n^{+-} - n^{-+}}{n^{++} + n^{--} + n^{+-} + n^{-+}}
\end{equation}
$a$ und $b$ sind hier die Polarisatorstellungen und + und - geben die jeweiligen Detektionskan"ale an.
$n^{++}$ gibt somit die Zahl der Koinzidenzen bei den Polarisatorstellungen (a,b) in den beiden + Kan"alen an.

Die Quantentheoretischen Erwartungswerte f"ur $n^{++}$ und $n^{--}$ sind $ \frac{1}{2} \sin^{2}(a-b) $, f"ur  $n^{+-}$ und $n^{-+}$ sind sie $ \frac{1}{2} \cos^{2}(a-b) $.

Daraus ergibt sich $ \langle E(a,b) \rangle = -cos( 2( a -b ))$.
Aus diesem Erwartungswert ergeben sich die Polarisatorstellungen f"ur die gr"o"sten Werte von S und somit die st"arkste Verletzung der CHSH Ungleichung. Die Winkel dieser Einstellungen sind in Tabelle \ref{winkel}.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\textbf{Einstellung} & \textbf{Winkel} \\ \hline \hline
$ a $ & $0$ \\ \hline           
$ b $ & $22.55$ \\ \hline           
$ a'$ & $45$ \\ \hline          
$ b'$ & $67.5$\\ \hline           
\end{tabular}
\caption{Einstellungen der Polarisatoren f"ur die st"arkste Verletzung der CHSH Ungleichung \protect\label{winkel}}
\end{table}

\subsection{Aufbau des Experiments}
Wir verwenden einen 150 mW UV Laser als Pumpstrahl f"ur die Quelle. Wir verwenden Filter die auf die doppelten Wellenl"ange des Laserlichts geeicht sind. Damit erreichen wir den oben behandelten Fall, dass die beiden Photonen dieselbe Energie haben. Die zur Messung verwendeten Polarisatoren befinden sich zwischen Quelle und Filter.

Nach den Filtern werden die Strahlen in monomode Glasfasern eingekoppelt und zur Detektion in den Avalanche Photodioden geleitet. Die Signale der Photodioden werden in eine Koinzidenzlogik geleitet, welche ein Signal ausl"ost, wenn aus den 2 Kan"alen innerhalb eines zeitlichen Abstandes von 8-10 ns Signale eintreffen.

Die drei Signale wurden mittels einer Z"ahllogik in Ereignissen / s [Hz] abgelesen.

\subsection{Durchf"uhrung}
Zuerst mussten wir die Polarisatoren relativ zur Tischebene eichen.
Dies wurde mit einem Polarisierten Laser wie folgt erreicht:
\begin{itemize}
\item Ein Polarisator wird zwischen den Laser und ein Intensit"atsmessger"at eingesetzt und so gedreht, dass das Messger"at ein Minimum anzeigt.
\item Danach wird er um 180° vertikal gedreht und nochmals auf ein Minimum gebracht.
\item Das Arithmetische Mittel der beiden gemessenen Winkel gibt dann den Winkel für Vertikale Polarisierung.
\end{itemize} 

Mit Hilfe der Polarisatoren wurden dann eine der optischen Achsen aller doppelbrechenden Elemente ($ \lambda /2$ Platte, BBO und BBO/2 Kristalle) wie folgt bestimmt:
\begin{itemize}
\item Die Polarisatoren wurden senkrecht zueinander vor den Laser gesetzt
\item Das doppelbrechendes Element wird dann zwischen die beiden Polarisatoren gebracht.
\item Da doppelbrechende Elemente im Allgemeinen die Polarisationsebene des Lichtes drehen (au"ser eine der optischen Achsen liegt in der Ebene), steigt dadurch die Intensit"at
\item Das Element wurde deshalb dann so justiert, dass das Minimum der Intensität wieder hergestellt wurde.
\end{itemize} 
Der BBO wurde dann so eingesetzt, dass die beiden Kegel  "ubereinander liegen (Blick durch die Justierbrille auf den Kristall -> gr"un "uber rot)

Danach versuchten wir ohne die Filter, Kompensatoren und Polarisatoren das Licht der Schnittpunkte in die Monomode Fasern einkoppeln.
Dies geschah durch sogenanntes ''walken'' wobei immer zuerst eine Achse des Kopplers verkippt wird und danach der Koppler in der Achse normal dazu translatiert wird um die Zahl der gemessenen Photonen zu erh"ohen. Wir erreichten dadurch ca. 3 millionen Hz (Photonen/s) an jedem Koppler.
Es zeigte sich jedoch, dass durch Einsetzen der Filter die Intensit"at auf die Dunkelz"ahlrate zur"ucksank und trotz aller walk-versuche 800 Hz nicht "uberschritt. 
H"ohere Z"ahlraten (ca. 50 000 Hz) waren nur durch extremes Verkippen des BBO zu erreichen.
Doch trotz der relativ hohen Einzelz"ahlraten war es uns nicht m"oglich Koinzidenzraten "uber dem zu erwartenden Hintergrund zu messen.

Da wir trotz aller Bem"uhungen keinen Fehler finden konnten und unsere Vermutungen bez"uglich falscher Filter oder eines falsch eingestellt Lasers von den Tutoren abgewiesen wurden, verbrachten wir den Rest der Woche damit, zu versuchen Koinzidenzen zu finden. Was aber aber nicht von Erfolg gekr"ont war.

Freitag nachmittag wurden wir endlich vom ''Sisiphos-walken'' erl"ost und durften auf ein anderes Setup ausweichen.

Dieses Setup zeigte bereits ausreichende Koinzidenzen, sodass wir nur noch die visibility optimieren mussten.
Dies geschah durch leichtes verkippen der Kompensator BBOs, wodurch die Phasenkompensation verbessert wurde, da dadurch die Strecke die das Licht im Kristal zur"ucklegt ver"andert wurde.

Drei Tage nach Abschluss unseres Experiments wurde uns mitgeteilt, dass unsere Probleme daher stammten, das der Laser auf der falschen Frequenz laste. Diese Nachricht versetze uns dank - unserer gro"sen Selbstbeherrschung - nur leicht in Aufregung (\emph{wir haben schon am zweiten Tag diese M"oglichkeit in Betracht gezogen}). Rechnungen f"ur etwaig notwendige Psychologenbesuche werden dem Institut "ubertragen werden!
\subsection{Ergebnisse}

Zuerst haben wir die Visibility in den Basen $0$ ( Abb. \ref{sb0}) und $45$ ( Abb. \ref{sb2}) Grad gemessen.
Das hei"st ein Polarisationsfilter wurde beim jeweiligen Winkel fix gehalten und der andere in 10 Grad Schritten zwischen $0$ und $360$ Grad variiert.
Die Messungen ergaben (wie zu erwarten war) eine $ \sin^{2} $ Kurve.

Die Visibility wurde deshalb in beiden Basen gemessen, da man ein der Basis $0$ auch klassische Korrelationen der Teilchen erwarten muss. In der Basis $45$ Grad erwartet man jedoch aufgrund der Rotationsinvarianz des verschr"ankten $\psi_{-}$ Zustandes nur Quantenmechanische Korrelationen. Die Visibility wird hier also im Allgemeinen etwas niedriger sein.

Die Messungen in beiden Basen wurden dann "uber je eine Periode des $ \sin^{2} $ gemittelt (Abb. \ref{msb0} und \ref{msb2}).

Wir bestimmten in beiden Basen grob (ohne fit) die Visibility durch $ V = \frac{Max - Min} {Max + Min} $ und die Visibility in der 45 Grad Basis auch per $y=a+b\sin^{2}(\pi \frac{x-xc}{w})$ fit in Origin.

Wir bemerkten außerdem, dass die Polarisatoren leicht verdreht waren, da die Maxima und Minima der Funktionen nicht ganz an den zu erwartenden Relativwinkeln lagen.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\textbf{basis} & \textbf{a} & \textbf{b} & \textbf{xc} & \textbf{w} & \textbf{$\chi^{2}$} & \textbf{Visibility}& \textbf{$ \delta V $}\\ \hline \hline
0 &  &  &  &  &  & $0.98$ &  \\ \hline           
45 & $120 \pm 20$ & $2506 \pm 32$ & $49.2 \pm 0.6$ & $180.9 \pm 0.7$ & $4696$ & $0.91$ & $0.02$ \\ \hline    
\end{tabular}
\caption{ Bestimmung der Visibility \protect\label{vis}}
\end{table}

Der Fehler $ \delta V$ wurde mit hilfe der Gau"sschen Fehlerfortpflanzung (Glg. \ref{dv}) bestimmt.

\begin{equation}
\label{dv} 
\delta V = V \sqrt{ (\frac{\delta b}{b})^{2} + \frac{4 \delta a^{2}+\delta b^{2}}{(2 a + b)^{2}}}
\end{equation}

Dann kamen die Eigentlichen Messungen von E an die Reihe.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\textbf{Kk.} & \textbf{alpha} & \textbf{Beta} & \textbf{$ n_{++} $} & \textbf{$ n_{--} $} & \textbf{$ n_{+-} $}& \textbf{$ n_{-+} $}& \textbf{E}& \textbf{$\delta$ E}\\ \hline \hline
e1 & 0 & 22,5 & 417 & 4 562 & 5 622 & 474 & 0,83909707 & 0,01240434 \\ \hline           
e2 & 0 & 67,5 & 3 923 & 1 265 & 1 461 & 4 823 & -0,52475593 & -0,01054383 \\ \hline           
e3 & 45 & 67,5 & 1 000 & 4 638 & 4 869 & 679 & 0,69980333 & 0,01154026 \\ \hline          
e4 & 45 & 22,5 & 1 503 & 4 124 & 4 307 & 1 260 & 0,50634268 & 0,0105942 \\ \hline           
\end{tabular}
\caption{Messung der Korrelationskoeffizienten \protect\label{kk}}
\end{table}

Die Fehler von E wurden wieder mit Gau"sscher Fehlerfortpflanzung (Glg. \ref{de}) bestimmt. Der Fehler der einzelnen Koinzidenzmessungen ($ \delta n$) wurde gem"a"s einer Poissonverteilung zu $ \delta n = \sqrt{n} $ bestimmt.

\begin{eqnarray}
\Sigma &=& n_{++} + n_{--} + n_{+-} + n_{-+} \\
Z &=& n_{++} + n_{--} - n_{+-} - n_{-+} \\
\delta E &=& E \sqrt{ (\frac{\Sigma}{Z^{2}} + \frac{1}{\Sigma}} \label{de}
\end{eqnarray}

S wurde nach Glg. \ref{chsh} und der Fehler von S ( $\delta S$) wieder nach Gau"s (Glg. \ref{ds}) bestimmt.

\begin{eqnarray}
\delta S &=& \sqrt{ \delta e1^{2}+\delta e2^{2}+\delta e3^{2}+\delta e4^{2}} \label{ds}
\end{eqnarray}

Da Quantentheoretisch $S = V 2 \sqrt{2}$ ist konnten wir dann auch aus der Messung von V einen Wert f"ur S erhalten und die beiden vergleichen (Tabelle \ref{vs}).
\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\textbf{ S gemessen} & \textbf{ S aus V berechnet} \\ \hline \hline
$2.57 \pm 0.02$ & $2.58 \pm 0.06$ \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Vergleich S gemessen mit S berechnet: \protect\label{vs}}
\end{table}

\section{Schlusswort}
Obwohl uns nach Tagen harter Arbeit kein ''Walk of Fame'' verg"onnt war gelang es uns doch noch (vielen vielen Dank an Dr. Kaoru) die Bell Ungleichung sehr gut zu verletzen. 

Da sowohl der Fehler von S relativ klein ist und die Messung den Vergleich mit der Theorie standh"alt (Tabelle \ref{vs}), sehen wir die rund 55 Stunden, die wir damit verbracht haben ein Setup mit falschen Laserfrequenzen einzujustieren, als nicht komplett verschwendet an. Wir sehen deshalb auch davon ab, den Kopf eines der Tutoren (wahrscheinlich Markus Aspelmayer, da uns der Kevin zu stark w"are) zu fordern.

\begin{figure}[ht]
\caption{Koinzidenzen in Abh"angigkeit vom Winkel zwischen den Polarisatoren in der Basis $ 0 $ \protect\label{sb0}}
\includegraphics[scale=0.9]{img/sinusbasis0.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\caption{Koinzidenzen in Abh"angigkeit vom Winkel zwischen den Polarisatoren in der Basis $ 22.5 $ \protect\label{sb2}}
\includegraphics[scale=0.9]{img/sinusbasis22.5.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\caption{"Uber 180 Grad gemittelte Koinzidenzen in Abh"angigkeit vom Winkel zwischen den Polarisatoren in der Basis $ 0 $ \protect\label{msb0}}
\includegraphics[scale=0.9]{img/msinusbasis0.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\caption{"Uber 180 Grad gemittelte Koinzidenzen in Abh"angigkeit vom Winkel zwischen den Polarisatoren in der Basis $ 22.5 $ \protect\label{msb2}}
\includegraphics[scale=0.9]{img/msinusbasis22.5.eps}
\end{figure}


\end{document}