\documentclass[dvips]{article}

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\usepackage{german}



\title{Molekulardynamik mit Lennard Jones Dumbbells}
\author{Jacobus van Meel, Harald Oberhofer, Walter Weissensteiner}


\begin{document}
\maketitle

Diese Arbeit entstand im Rahmen des Computational Physics Praktikums unter der Betreuung von Prof. Vesely

\tableofcontents
\newpage
\section{Grundlagen}
\label{whatsthis}
Die Aufgabenstellung war eine Molekulardynamische Simulation zu schreiben, deren Teilchen:
\begin{enumerate}
\item einem kontinuierlichen Potential gehorchen und
\item "uber eine starre Achse jeweils zu Paaren (dumbbells) verbunden sind
\end{enumerate}


\begin{equation}
\label{ljpot}
V(r) = 4[(r)^{-12}-(r)^{-6}]
\end{equation} 

Als Potential w"ahlten wir das ''gute alte'' Lennard Jones Potential ( Glg. \ref{ljpot} ) da es erstens sowohl attraktive wie auch repressive Komponenten hat und zweitens schnell genug abf"allt um es mit einem cutoff der L"ange Boxl"ange/2 behandeln zu k"onnen.
Die Bindung der Teilchen an ihre jeweiligen Partner wird - da nur je zwei Teilchen beteiligt sind - durch die exakte Form des shake Algorithmus f"ur 2 Partnerteilchen aufrecht erhalten.

\begin{equation}
\label{verlet}
y_{n+1} = 2 y_{n}-y_{n-1}+b_{n}(\Delta t)^{2}+O[(\Delta t)^4]
\end{equation} 

Als Integrator dient uns der Algorithmus von Verlet ( Glg. \ref{verlet} ) und die Startkonfiguration ist die allgemein "ubliche Face Centered Cubic Gitterkonfiguration mit statistisch - entsprechend der gew"unschten Temperatur - verteilten Anfangsgeschwindigkeiten. Die eigentliche Simulation beginnt daher erst nach cirka 5000 Iterationen, bis der Wert des melt factors ( Glg. \ref{melt} ) das erste mal unter $\sqrt N $ ($N =$ Anzahl der Teilchen) gefallen ist.

\begin{equation}
\label{melt}
S_{0} \equiv \sum_{i=1}^{N} \left[\cos (2 m \pi x_{i}/L)+\cos (2 m \pi y_{i}/L)+\cos (2 m \pi z_{i}/L) \right]
\end{equation}

\section{"Uber die Implementierung der Simulation}
\label{about}
Als Programmiersprache w"ahlten wir C++, da nur hier eine einfache Erweiterbarkeit (durch objektorientiertes
programmieren) in Verbindung mit gro"ser Geschwindigkeit zu erreichen ist.
Wir teilten die Aufgabe in ihre logischen Teile, um diese gegebenenfalls sp"ater einzeln wiederverwerten zu 
k"onnen. So ist z.B. der Integrator komplett getrennt von den Formeln des Potentials, wodurch man mit wenigen
Handgriffen das Potential komplett "andern kann ohne irgendetwas am Integrator aendern zu m"ussen (es sei denn man
will die Simulation von kontinuierlichem Potential auf z.B. harte Kugeln umstellen).
Die Simulation ist zudem so implementiert, dass man durch "andern einer Variablen jede beliebige Dimension einstellen
kann die einem sinnvoll erscheinen mag (2D, 3D oder 42D ?).
Die Ausgabe der Teilchentrajektorien wird nicht von der Simulationsapplikation selbst durchgef"uhrt, sondern durch einen eigens zu diesem Zweck geschriebenen 3D Viewer (DataView: leider NUR 3D bis jetzt) vorgenommen, wodurch man in der Simulation einiges an Geschwindigkeit dazugewinnt, da man nur regelm"a"sig die Teilchen"orter auf die Festplatte schreiben muss.

Die exakten Details der Implementierung der Simulation wurden mit Hilfe von Doxygen aus dem source code selbst extrahiert. Sie stehen jetzt als html site zur Verfuegung welche unter \textbf{www.weird-birds.org/projects/compphys} \textbf{/PSTK/doc/index.html} zu finden ist.

\section{Ergebnisse}
\label{whatfor}
Zur Evaluierung dienten uns die Autokorrelationsfunktion (Gl. \ref{acfveq}) sowie die sogenannte Paarkorrelationsfunktion (Gl. \ref{pcfeq}) des Systems bei unterschiedlichen Dichten und Bindungsl"angen im Molek"ul.

\begin{equation}
\label{pcfeq}
g(r) = \frac { V } { 4 \pi r^2 N(N-1) } \langle \sum_i { \sum_{j \neq i} { \delta(r-r_{ij})} } \rangle
\end{equation} 

\begin{equation}
\label{acfveq}
C(t) = \langle v_i(0) \cdot v_i(t) \rangle
\end{equation} 

\begin{figure}
\subsection{Paarkorrelationsfunktionen}
\label{pcf}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.4p108t1d0.5-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.8p108t1d0.5-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.4p108t1d1-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.8p108t1d1-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.4p108t1d2-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.8p108t1d2-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.4p108t2d2-pcf.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/b0.8p108t2d2-pcf.eps}
Side-to-side-Paarkorrelationsfunktion bei verschiedenen Dichten (Zeilen) und zwei unterschiedlichen intramolekularen Bindungsl"angen (Spalten).
Die Diagramme der letzten Zeile spiegeln die Parameter der Zeile davor bei doppelter Temperatur wieder.
\end{figure}

\begin{figure}
\subsection{Geschwindigkeitsautokorrelationen}
\label{acfv}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autovd0.5b0.4it1E6n128.eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autov(d=0.5b=0.8it=1E6n=128).eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autov(d=1.0b=0.4t=1E6n=128).eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autov(d=1.0b=0.8it=1E6n=128).eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autov(d=2.0b=0.4it=1E6n=128).eps}
\includegraphics[scale=0.25]{images/autov(d=2.0b=0.8it=1E6n=128).eps}
Geschwindigkeitsautokorrelationsfunktion der einzelnen Atome (also nicht des Molek"ulschwerpunktes) bei verschiedenen Dichten (Zeilen) und zwei unterschiedlichen intramolekularen Bindungsl"angen (Spalten).
\end{figure}

\end{document}